Conjunto

En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas,números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si consideramos la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos totalmente idénticos repetidos. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los número naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.

Intervalo

Un intervalo es un conjunto comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real $\R$ , es decir, una porción de recta entre dos valores dados.

El intervalo real $I\$ es la parte de $\R$ que verifica la siguiente propiedad:

Si $x\$ e $y\$ pertenecen a $I\$ con $x \le y$ , entonces para todo $z\$ tal que $x \le z \le y\$ , se tiene que $z\$ pertenece a $I\$

Intervalo abierto

No incluye los extremos.

$(a,b)\$ o bien $]a,b[\$
Notación conjuntista o en términos de desigualdades: $\{x\in\R\,|\,a<x<b\}$

Intervalo cerrado

Sí incluye los extremos.

$[a,b]\$
Notación conjuntista o en términos de desigualdades: $\{x\in\R\,|\,a\le x\le b\}$

Intervalo semiabierto

Incluye únicamente uno de los extremos.

$[a,b)\$ o bien $[a,b[\$ , notación conjuntista: $\{x\in\R\,|\,a\le x<b\}$
$(a,b]\$ o bien $]a,b]\$ , notación conjuntista: $\{x\in\R\,|\,a<x\le b\}$

File:Transformación lineal de intervalos 02.svg

Desigualdad matemática

En matemáticas, una desigualdad es una relación que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).

Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.

La notación a < b significa a es menor que b;

La notación a > b significa a es mayor que b;

estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual ab; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".

La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;

estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).

La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b;

esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.

La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.

Valor absoluto

En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones,anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales

Propiedades fundamentales

$\|a\| \ge 0$	No negatividad
$\|a\| = 0 \iff a = 0$	Definición positiva
$\|ab\| = \|a\| \|b\|\,$	Propiedad multiplicativa
$\|a+b\| \le \|a\| + \|b\|$	Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)

Otras propiedades

$\|-a\| = \|a\|\,$	Simetría
$\|a-b\| = 0 \iff a = b$	Identidad de indiscernibles
$\|a-b\| \le \|a-c\| + \|c-b\|$	Desigualdad triangular
$\|a-b\| \ge \|\|a\| - \|b\|\|$	(equivalente a la propiedad aditiva)
$\left\| \frac {a}{b}\right\| = \frac {\|a\|}{\|b\|} (si \ b \ne 0)$	Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)

Otras dos útiles inecuaciones son:

$|a| \le b \iff -b \le a \le b$
$|a| \ge b \iff a \le -b \vee b \le a$

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

$\|x-3\| \le 9$	$\iff -9 \le x-3 \le 9$
	$\iff -6 \le x \le 12$

Sucesión matemática

En matemáticas, una sucesión es una lista ordenada de objetos, cada uno de ellos denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión.

A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta.

Las diferentes definiciones suelen estar ligadas al área de trabajo, la más común y poco general es la definición de sucesión numérica, en la práctica se usan sucesiones de forma intuitiva.